?

Log in

No account? Create an account

Chhabra et al., 1989
covtoc
basil_yakimov

Chhabra A.B., Meneveau C., Jensen R.V., Sreenivasan K.R. Direct determination of the f(α) singularity spectrum and its application to fully developed turbulence // Phys. Rev. A. 1989. 40(9): 5284-5294.

В работе [Chhabra, Jensen, 1989] предложен новый метод прямого определения параметров мультифрактального спектра без промежуточного построения функции τ(q) и использования преобразования Лежандра. В данной работе этот метод применяется к эмпирическим данным по диссипации энергии в условиях турбулентности и сравнивается с гистограммным методом построения мультифрактального спектра.

Суть стандартной процедуры заключается примерно в следующем. Объект покрывается ячейками разного масштаба l и для каждой из ячеек рассчитывается находящаяся в нем мера p(l). Для каждого масштаба l рассчитываются моменты распределения меры Mq(l) = sum(pq), затем строятся графики log(Mq) vs log(l) и оценка их наклонов дает набор скейлинговых показателей τ(q). К зависимости τ(q) применяется преобразование Лежандра, которое и дает нам искомую функцию мультифрактального спектра f(α).

Предлагаемая процедура позволяет избежать промежуточного этапа и рассчитывать показатели спектра f(q) и α(q) непосредственно как скейлинговые наклоны. Для этого для каждой из ячеек покрытия вводятся дополнительные величины μ(q,l) = pq/sum(pq). Показатели f(q) определяются как наклоны графиков sum(μ(q,l)*log(μ(q,l)) vs log(l). Показатели α(q) определяются как наклоны графиков sum(μ(q,l)*log(p(l)) vs log(l). Описанный метод построения спектра авторы называют каноническим.

В применении к данным по турбулентности метод показал хорошее соответствие по сравнению со стандартным методом, полученные кривые практически накладываются. Отклонения наблюдаются в основном в области отрицательных q.  По сравнению с гистограммным методом построения спектра канонический метод имеет преимущество, поскольку не обнаруживает смещения в оценке параметров при использовании узкого диапазона скейлинга (в одном из примеров имеет место узкий диапазон скейлинга и для него гистограммный метод дает существенно заниженные оценки размерностей f).

P.S. Я успел прикрутить канонический метод к нашему случаю с анализом структуры сообществ. Получаемые спектры строго соответствуют обычным. Численного совпадения нет, но нужно очень точно рассматривать графики, чтобы обнаружить отличия. Совпадает все, вплоть до аномалий. Так что в плане избавления от аномалий особых преимуществ при использовании на практике не просматривается. Однако есть мысль использовать этот метод для оценки доверительных интервалов для спектров, поскольку при таком подходе можно напрямую использовать показатели разброса для коэффициентов регрессии.