?

Log in

No account? Create an account

Wendt et al., 2009
covtoc
basil_yakimov

Wendt H., Roux S.G., Jaffard S., Abry P. Wavelet leaders and bootstrap for multifractal analysis of images // Signal Processing. 2009. 89(6): 1100-1114.

Гремучая смесь из мультифрактального анализа, вейвлетов и бутстрэппинга.

В ряде предыдущих публикаций примерно тот же коллектив авторов разработал два новшества применительно к мультифрактальному анализу временных серий с использованием вейвлет-преобразования. (1) Предложено использовать вместо обычных вэйвлет-коэффициентов использовать так называемые вэйвлет-лидеры (wavelet leaders), преимущество которых в том, что они ведут себя более стабильно при анализе скейлинга моментов отрицательных порядков (вообще говоря, там речь идет не о моментах, а о структурных функциях, но смысл от того не меняется) и позволяют адекватно оценивать нисходящую часть мультифрактального спектра. (2) Предложена как бы статистическая процедура оценки точности определения мультифрактальных характеристик на основе бутстрэппинга, позволяющая строить доверительные интервалы как для скейлинговых параметров, так и для спектра.

В данной статье предложенные ранее новшества обобщаются для двумерного случая и применяются в контексте анализа изображений. Терминология изложения теории мультифракталов несколько отличается от стандартной, но ключевые моменты разобрать можно. Разумеется, чтобы вникнуть в применяемые вэйвлет-алгоритмы надо одолеть пару-тройку мануалов, однако для понимания самых интересных наработок это некритично: можно рассматривать процедуру замены исходного сигнала на набор коэффициентов вэйвлет-разложения  как своего рода черный ящик.

Разумеется, самый интересный момент заключается в процедуре бутстрэп-оценки доверительных интервалов. Собственно бутстрэппинг применяется к вэйвлет-коэффициентам, причем выбираются они блоками единовременно на всех масштабных уровнях. Собранные блоки формируются в аналог исходного набора и дальше применяются все процедуры мультифрактального анализа. К сожалению, аргументы касательно обоснованности такой процедуры остались за бортом изложения: упоминается только о том, что якобы вэйвлет-коэффициенты менее подвержены взаимозависимостям, чем исходный сигнал. В общем, в этой части вопросов больше чем ответов.

Вся эта навороченная алгоритмическая инженерия иллюстрируется в статье анализом двух синтетических ландшафтов: самоподобного, но не мультифрактального двумерного броуновского движения и мультифрактального канонического мультипликативного каскада Мандельброта. Для первого спектр практически точечный, для второго – вполне себе классического вида.

В финале статьи проведен анализ обычного изображения: фотографии деревьев. Для нее также авторы умудрились получить прилично выглядящий спектр, правда с огромным разбросом на нисходящей ветви. Такие успехи в деле мультифрактального анализа явно немультифрактального объекта настораживают.

Однако самое приятное во всей этой истории состоит в том, что на интернет-странице первого автора обнаружился матлабовский тулбокс с реализацией всех описанных в статье наворотов, так что все это теперь вполне доступно для применения.

N.B. Для расчета мультифрактального спектра авторы применили не стандартное преобразование Лежандра, а несколько модифицированный алгоритм со ссылкой на работу [Chhabra et al., 1989]. Возможно, есть смысл ковырнуть в этом направлении…