December 23rd, 2010

covtoc

Kefi et al., 2011

Kéfi S., Rietkerk M., Roy M., Franc A., De Ruiter P.C., Pascual M. Robust scaling in ecosystems and the meltdown of patch size distributions before extinction // Ecology Letters. 2011. 14(1): 29-35.

Есть такое сильно обсуждаемое последние годы явление – самоорганизованная критичность, когда сложная система в результате самоорганизации самостоятельно приходит в точку фазового перехода. Точка эта характеризуется сложной безмасштабной структурой, в первую очередь – пространственной (хотя и кой-какие временнЫе распределения рассматриваются). Одним из классических примеров самоорганизованной критичности является поведение модели лесного пожара. В этой модели на решетке происходит медленный равномерный рост леса, который периодически выгорает в результате быстро распространяющихся пожаров. В результате система приходит в состояние, близкое к критическому, и на решетке наблюдаются безмасштабные сиречь фрактальные структуры. Еще одним маркером критического состояния является степенное распределение кластеров по размеру.

Несмотря на то, что модель лесного пожара в основе своей биологическая, особой популярностью она пользуется у физиков, но не у экологов. В последнее время экологи бале активно обсуждают так называемые «устойчивые критические системы» (robust critical systems). Модели таких систем очень напоминают обычные модели самоорганизованной критичности, но в них за счет большой роли локальных взаимодействий возникающие в районе фазового перехода степенные распределения сохраняются в довольно широком диапазоне параметров. Именно таким образом объясняется широкое распространение в природе степенных распределений в системах, существующих в сильно различающихся условиях окружающей среды.

В силу специфики таких моделей критическое состояние со степенным распределением трактуется как условно «хорошее», поскольку собственно фазовый (он же – перколяционный в данном случае) переход на квадратной решетке имеет место быть в районе концентрации элементов около 0.59. При ухудшении условий (то есть при усилении действия разрушающего фактора) концентрация элементов снижается вплоть до полной деградации системы. Деталям этого процесса деградации и посвящена рассматриваемая статья.

Авторы рассмотрели четыре модели: (1) растительность в аридной зоне (занятые растительностью клетки отмирают и становятся пустыми, распространение растительности идет как глобально по всей решетке, так и локально в соседние пустые ячейки, долгое время пустующие ячейки становятся деградировавшими и не способными к заселению, они конвертируются в обычные пустые за счет соседства с зелеными ячейками); (2) мидиевые банки (mussel beds; мидии распространяются строго локально, разрушаются под действием волн, причем соседство с разрушенной ячейкой увеличивает вероятность разрушения, то есть волны действуют тоже локально, разрушенные ячейки по прошествии времени становятся вакантными и годными к заселению); (3) система хищник-жертва (жертвы распространяются локально, хищники способны к активному поиску и распространяются тоже локально, голодные хищники погибают); (4) нуль-модель без локальных взаимодействий (ячейки пустые или занятые, меняют состояние с глобальными вероятностями независимо от состояния соседей).

Подробному разбору подвергнута базовая модель без локальных взаимодействий, здесь доля занятых ячеек задается просто соотношением вероятностей перехода. Выделено 4 области поведения распределения кластеров занятых ячеек: α – за точкой перколяционного перехода, доминирует один связывающий кластер, распределение мелких кластеров степенное; β – связывающего кластера нет, распределение степенное; γ – распределение кластеров степенное с экспоненциальным отклонением (power law with exponential cutoff); δ – распределение с отклонением от степенного и связным кластером пустых ячеек. Наличие либо отсутствие отклонения от степенного распределения диагностировалось с помощью информационного критерия Акаике.

Та же последовательность стадий деградации системы при увеличении пресса разрушающих факторов (интенсивность волн, пресс хищников) прослеживается и в моделях систем с локальными взаимодействиями. При этом в целом в таких моделях при одинаковой заселенности наблюдаются меньшие отклонения от степенного закона, а соответственно и меньшая степень деградации. Диапазон, в котором отклонения от степенного распределения не фиксируются также в таких моделях шире.

Степень отклонения от степенного распределения предлагается использовать как своего рода индикатор близости системы к оптимальному критическому состояния либо к деградированному состоянию. В обсуждении приводится много ограничений и сложностей на пути непосредственного использования разрабатываемого подхода в приложении к эмпирическим данным.

От себя. Честно говоря, я не совсем понял, к чему было весь этот огород городить. На мой взгляд, описание последовательности распределений на пути к полной деградации – это какое-то слабое достижение. Лично мне вот почему-то совершенно очевидно, что именно так все и должно быть: сначала исчезает перколирующий кластер, потом появляются отклонения от степенного распределения, дальше возникает связный кластер пустых ячеек и в итоге система окончательно деградирует. Это нуль-гипотеза и есть. А почему, собственно, должно быть как-то иначе? И зачем это тогда доказывать и обосновывать? Собственно отклонения от степенного распределения изучались в качественном режиме, на уровне есть/нет. Нет даже намека на попытку разработки количественной меры отклонения, которую можно было бы с определенными ограничениями интерпретировать как эквивалент уровня деградации системы.

N.B. Ссылки на работы по методам статистической оценки параметров степенного распределения, в том числе с использованием оценки максимального правдоподобия.